拉普拉斯方法（Laplace's method）
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許多難以精確求值的積分裡，含有一個巨大的指數權重，它被壓倒性地集中在某一處，就像一束聚光燈只照亮舞台上的一個點，其餘幾乎都陷在黑暗裡。拉普拉斯方法正是利用這一點：當被積函數有一個尖銳的峰時，積分的幾乎全部貢獻都來自峰附近一個極小的區域，你可以通過研究那個小鄰域來近似整個積分。
其機制是：要在大參數 M 趨於無窮時估計 e^(M phi(t)) 在某區間上的積分，先找到光滑函數 phi(t) 取最大值的地方，設為 t = t0，滿足 phi'(t0) = 0 且 phi''(t0) < 0。在該點附近 phi 被它的拋物線 phi(t0) + (1/2) phi''(t0) (t - t0)^2 很好地逼近，於是被積函數變成一個高斯鼓包。把所得的高斯積分算出，就給出主導估計：該積分約等於 e^(M phi(t0)) 乘以 sqrt(2 pi / (M |phi''(t0)|))。峰越高、M 越大，鼓包越尖，近似越好，相對誤差為 1/M 的量級。
這一個想法是大量應用數學背後的引擎：把階乘寫成積分，它就給出 n! 的斯特林公式；它支撐著複平面裡的鞍點法；它也是統計學與機器學習中遍地使用的「拉普拉斯近似」——用一個以最可能值為中心的高斯去近似後驗積分。誠實的提醒是：它需要一個真正的內部最大值，且那裡 phi'' 不為零；若最大值落在端點，或 phi'' 在那裡為零（峰更平坦），主導公式就會改變，你必須重做局部分析。
把 n! = 從 0 到無窮的 t^n e^(-t) dt 這個積分寫出，並在峰 t = n 附近施用拉普拉斯方法，就重現了斯特林公式：n! ~ sqrt(2 pi n) (n/e)^n。
用一個高斯去近似 t^n e^(-t) 的尖峰，把一個棘手的積分變成了斯特林公式。
在主導階起作用的是指數 phi 的最大值，而非整個被積函數的最大值；e^(M phi) 前面那個緩變的前因子，只貢獻它在峰處的取值，而非它的形狀。