漸近等價（asymptotic equivalence）

有時兩個複雜的量雖然從不嚴格相等，卻隨著某個變量變大而步調一致地前進——它們的比值趨於 1。漸近等價正是「這兩者在極限下表現相同」的精確說法。我們寫 f(x) ~ g(x)，讀作「f 漸近於 g」，意思是當 x 很大時（或在所指的任何極限附近），較簡單的 g 抓住了 f 真正的主導行為。

精確的含義是：當 x 趨於某極限時 f(x) ~ g(x)，意思是比值 f(x)/g(x) 趨於 1。等價地說，差 f - g 是 g 的小o，也就是誤差相比 g 本身可忽略。於是調和數之和 1 + 1/2 + ... + 1/n ~ ln n，因為此和與 ln n 之比趨於 1，儘管它們的差（趨於歐拉-馬斯刻若尼常數，約 0.5772）從不消失。這個關係是對稱且傳遞的，所以它表現得像一個真正的「最終同尺寸、同形狀」概念。

這是大多數漸近分析的頭條結論：質數計數函數 pi(x) ~ x / ln x（質數定理），以及斯特林公式 n! ~ sqrt(2 pi n) (n/e)^n。關鍵的提醒是：~ 只控制相對誤差，不控制絕對誤差。作為比值 n! ~ sqrt(2 pi n)(n/e)^n 極其出色，但對大的 n，兩邊的絕對差是天文數字般地巨大——兩邊本身都大得驚人。等價保證的是百分比上吻合得好，絕不是數值上的差很小。