小o記號（little-o notation）

如果說大O的意思是「至多差一個常數倍那麼大」，那麼小o說的是更強的話：「相比之下完全可以忽略」。它是用來描述這樣一種量的語言：它不只是相對於 g 保持有界，而是相對於 g 縮小到趨於零。想像一輛行駛卡車上的灰塵：卡車越開越快時，灰塵在總質量中所佔的比例越來越小。那個趨於消失的比例，正是小o的精神。

精確的含義是：當 x 趨於某極限時 f(x) = o(g(x))，意思是比值 f(x)/g(x) 在該極限下趨於 0。等價地說，對任意常數 epsilon（無論多麼小），f(x) 最終都小於 epsilon 乘以 g(x)。這與大O形成對照——大O只需要一個固定常數就夠了。於是當 x 趨於無窮時 x = o(x^2)（x 在增長，但 x^2 增長得快太多，使得 x/x^2 = 1/x 趨於 0），而在零附近 x^2 = o(x)（比值 x^2/x = x 趨於 0）。注意 o(g) 自動也是 O(g)，但反過來不成立。

小o正是我們用來說明泰勒展開確實是個近似的方式：在 0 附近 sin x = x + o(x) 表示誤差按比例比 x 本身還小，而這恰好是導數作為「最佳線性擬合」的定義性質。它也精確刻畫了漸近等價：f 與 g 漸近相等，當且僅當它們之差是 o(g)。它的提醒與大O如出一轍：小o同樣隱藏了一切定量資訊——它告訴你某項在極限下可忽略，卻不告訴你在 x 取到什麼值時這種「可忽略」才真正生效。