最速下降法（method of steepest descent）

最速下降法是把拉普拉斯方法搬進複平面。許多重要積分帶有複指數，例如沿某條路徑的 e^(M f(z)) dz，其中 f 解析、M 很大。被積函數以複雜的方式振盪並增長，沒有顯然的峰可以圍繞。絕妙的一招是形變積分路徑——對解析被積函數，柯西定理允許我們自由地這麼做——把它挪到一條新路徑上，使積分變成一個乾淨、尖峰、拉普拉斯型的問題。

運作方式是：寫 f(z) = u(z) + i v(z)。被積函數的大小由 e^(M u) 主導。我們尋找一個鞍點 z0，滿足 f'(z0) = 0，然後讓圍道穿過 z0，沿著 u 離開鞍點時下降最快的方向（最速下降路徑）走。沿這條特殊路徑，振盪相位 v 保持恆定，於是劇烈的振盪被關掉，被積函數變成一個實的、尖銳的鼓包，可以直接用拉普拉斯方法處理。主導結果與拉普拉斯方法同形：大致是 e^(M f(z0)) 乘以 sqrt(2 pi / (M |f''(z0)|))，再乘以一個由下降路徑取向定下的相位因子。

這是貝塞爾函數、艾里函數、複平面裡伽馬函數以及許多積分變換在大宗量處漸近行為的主力工具；它也是統計力學與量子場論中鞍點求值的數學核心。誠實的提醒是：選對圍道、穿過對的鞍點確實是一門藝術——可能有好幾個鞍點，你必須恰好把形變路徑真正越過的那些納入進來（斯托克斯現象描述了這組鞍點如何會突然變化），否則你的答案就會出錯。