漸近分析與攝動方法

駐相法(method of stationary phase)

當你把許多相位以不同速率旋轉的波疊加起來時,它們多半相互抵消成一片模糊——唯獨在相位一時停止變化的地方,鄰近的波短暫地步調一致、彼此相加。駐相法把這一關於波的日常事實變成工具:一個振盪積分由其相位駐定的那些點主導,幾乎其餘一切都抵消掉。

其情境是帶大實參數 k 的積分 g(t) e^(i k phi(t)) dt。因子 e^(i k phi) 一圈一圈地旋轉;在 phi'(t) 不為零的任何區段上,這種快速旋轉使正負貢獻相消,剩下的部分比 1/k 的任何冪都小。倖存的貢獻來自駐點,即 phi'(t0) = 0 的地方,因為那裡相位局部平坦,振盪短暫地相互加強。在該處把 phi 展開到二階,做一個(如今是複的)高斯積分,給出主導估計:約為 g(t0) sqrt(2 pi / (k |phi''(t0)|)) 乘以 e^(i k phi(t0)) e^(i sigma pi/4),其中 sigma 是 phi''(t0) 的符號。注意衰減只像 1/sqrt(k)——比拉普拉斯方法慢,因為這裡是靠振盪相消,而非指數級的小。

駐相法是波與射線的數學:它解釋了光與聲為何沿駐定時間的路徑傳播(與費馬原理的聯繫),它給出光學與聲學的遠場繞射圖樣、波包的群速度與色散、以及 WKB 的連接公式。誠實的提醒是:它需要真正的、彼此分離的、非退化的駐點。若 phi''(t0) 也為零(更高階的駐點),衰減進一步變慢,艾里函數之類的特殊函數會登場;而若區間內根本沒有駐點,積分就是指數級小,轉而由端點主導。

從負無窮到正無窮的 e^(i k (t^3/3 + x t)) dt 這個積分是艾里積分;它的單個或成對駐點(在 t^2 + x = 0 處)解釋了焦散亮側上的振盪條紋。

遠離駐點處快速振盪相消;駐點附近鄰近的波相加,留下主導貢獻。

每個駐點處駐相法以 1/sqrt(k) 的速度衰減,遠比拉普拉斯方法的指數級集中要慢。振盪相消弱於指數衰減,所以振盪積分更難變小。

又稱
stationary phase approximationKelvin's stationary phase稳相法稳定相位法