WKB近似（WKB approximation）
/ double-you kay bee /
WKB 近似是當介質相對於波長緩慢變化時，求解類波微分方程的辦法——在這種區域裡，波的行為幾乎像一束光線在變化的介質中輕柔地彎折。它回答的是：當一個解的局部波長隨位置漂移時，這個快速振盪（或快速衰減）的解如何演化？答案是去追蹤一個累積的相位，加上一個緩慢調整的振幅。
考慮形如 epsilon^2 y'' + Q(x) y = 0 的方程，帶一個小參數 epsilon（在量子力學中 epsilon 扮演普朗克常數的角色）。WKB 擬設把解寫成 epsilon 級數的指數：y ~ exp((1/epsilon)(S_0(x) + epsilon S_1(x) + ...))。代入並按 epsilon 的冪次匹配，在主導階得到 S_0' = 正負 sqrt(-Q)，即一個像 sqrt(Q) 的積分那樣累積的相位（程函），在下一階得到一個像 Q^(-1/4) 那樣的振幅因子。於是在 Q > 0 處你得到局部波數為 sqrt(Q) 的振盪、振幅按 Q^(-1/4) 漸變；在 Q < 0 處你得到指數增長或衰減。當 Q 在局部波長的尺度上緩慢變化時，這個近似恰好極好。
WKB 是波動力學與經典力學之間的橋梁（半經典極限），它給出能級的玻爾-索末菲量子化規則、量子穿過勢壘隧穿的指數速率、以及光學、聲學、電漿物理中波在緩變介質裡的傳播。誠實的提醒是：這些簡單公式在 Q(x) = 0 處會爆炸——那是轉折點，經典粒子在此停下並折返。那裡的振幅前因子 Q^(-1/4) 是奇異的，你必須用一個局部的艾里函數解把振盪區與指數區拼接起來，這就是 WKB 連接公式。
對薛丁格方程，WKB 給出的穿過勢壘的隧穿幅約為 exp(-(1/epsilon) 在經典禁區上 sqrt(V(x) - E) dx 的積分)——正是這指數級小的滲漏驅動著阿爾法衰變與掃描隧道顯微鏡。
指數中累積的「作用量」積分定下隧穿速率；緩變的振幅騎在它之上。
WKB 在 Q(x) = 0 的轉折點附近不成立。那裡樸素的 Q^(-1/4) 振幅發散；真正的解保持有限，連接兩側需要艾里函數的拼接，而非裸的 WKB 公式。