發散漸近展開（divergent asymptotic expansion）

這是應用數學中最令人愉快的悖論之一：一個其各項最終會爆炸的級數——把它全部加起來會得到無窮或胡話——卻仍可能是你擁有的最精確的數值工具之一。訣竅在於：你絕不把整個級數加完。你加上幾項，停下，部分和就出奇地緊貼真值。這就是與漸近級數打交道的日常現實。

運作方式是：在典型的漸近展開裡，各項先減小，到達一個最小項，然後無界地增大（往往因為係數像階乘那樣增長）。對固定的變量值，你能做到的最好就是在那個最小項處或之前截斷——所謂的最優截斷。你所承擔的誤差大致是那個最小項本身的大小，對許多問題而言是指數級地小。越過最小項只會引入失控的尾巴、毀掉答案。數學家斯托克斯在 1850 年代就用這樣一個發散級數極高精度地算出了艾里函數的值，遠早於任何人對此給出完整證明。

這之所以重要，是因為那個聽起來很自然的要求「級數必須收斂才可信」對漸近分析根本不成立。量子力學（能級的微擾級數通常發散）、流體力學（邊界層展開）、以及特殊函數的求值都依賴於此。現代的精細化方法（博雷爾求和、再求和、指數漸近）甚至能恢復隱藏在最優截斷之外的那些指數級小資訊。誠實的提醒是：發散展開只有在明智地截斷、且只在最小項確實很小的變量取值範圍內才可靠；盲目把它加完，或在最小項很大的地方使用它，得到的都是垃圾。