積分次序（order of integration）

當你把二重積分寫成累次積分時，你必須決定先對哪個變量積分——是先橫掃再豎掃，還是反過來？這個選擇就是積分次序。對矩形來說它對難度沒影響，但在彎曲或傾斜的區域上，一種次序可能是一個乾淨的單積分，而另一種卻逼你把區域切成幾塊、或與一個沒有初等原函數的被積式搏鬥。懂得如何從一種次序切換到另一種，是多元微積分裡最有用的手上功夫之一。

交換次序絕不只是把 dx dy 換成 dy dx——光這樣會給出錯誤答案。你必須從區域的幾何重新推導上下限。標準做法是：畫出區域 R；對次序 dy dx，固定一個典型的 x，讀出 y 如何變化（在一條下曲線和一條上曲線之間），再讓 x 在它的極端常數值之間跑；對 dx dy，固定一個典型的 y，讀出 x 如何變化，再讓 y 在它的常數之間跑。同一個區域用兩種方式描述，給出兩個累次積分，富比尼定理擔保它們相等。在一種次序下需要切成兩塊的區域，在另一種次序下可能只需一塊。

這遠不止是整潔的問題。經典的回報是像 從 0 到 1 對 [從 x 到 1 對 e^{-y^2} dy 的積分] dx 的積分 這樣的式子，照寫下來毫無希望，因為 e^{-y^2} 沒有初等原函數——但把次序換成 dx dy，內層對 x 的積分變得平凡，整個東西塌縮成初等的結果。交換次序也是馴服三角形上、相交曲線之間的區域上、以及許多反常積分的辦法。最常見的單一錯誤，是改了微分卻照抄舊的數字上下限；上下限每次都必須從圖裡重建。