質心（center of mass）

一個物體的質心，是這樣一個點：可以設想把它的全部質量都集中在此處，而不改變它如何平衡、也不改變它如何對力作出反應。把一塊平板恰好用針頂在這一點正下方，它會平放；把一把扳手旋轉著扔過房間，這一點會劃出一條平滑的拋物線，而扳手的其餘部分繞著它翻滾。它是物體所有小塊位置的、按質量加權的平均。

當物體有連續的、可能可變的密度時，多重積分正是你找到它的辦法。對一塊面密度為 rho(x, y)、位於區域 R 上的平面薄片，先把總質量 M 算作 rho dA 在 R 上的二重積分。然後質心的坐標是按質量加權的平均：x-bar 等於 (1/M) 乘以 x rho dA 在 R 上的二重積分，y-bar 等於 (1/M) 乘以 y rho dA 在 R 上的二重積分。分子裡的積分是關於各軸的矩。對實體，同樣的公式改用三重積分和體密度 rho(x, y, z)，給出三個坐標。當密度為常數時它從比值裡約去，質心退化為形心——區域的純幾何平均位置。

這是工程與物理的家常便飯：定位橫截面的形心以找出樑會在何處彎曲、找出車輛的重心以判斷它會不會翻、確定機械臂或飛機的平衡點。對稱性是你的朋友——若一個物體有對稱面或對稱軸、且其密度尊重這種對稱，質心必落在其上，這常在你動筆之前就消掉一兩個積分。值得澄清的常見誤解是：質心根本不必落在物體內部（想想甜甜圈或迴旋鏢），它也不等於外接盒子的中心。