完全橢圓積分（complete elliptic integral）

兩個古老的問題抗拒初等微積分：大擺幅下鐘擺完整一擺有多長時間，以及橢圓的精確周長是多少？兩者都引向一個四次式平方根的積分，而它無法用初等函數完成。完全橢圓積分就是在完整四分之一週期上求出的兩個命名答案，終於讓這些經典問題收尾。

第一類完全橢圓積分是 K(k) = 從 0 到 pi/2 對 d theta 除以 根號(1 減 k^2 sin^2 theta) 的積分，第二類是 E(k) = 從 0 到 pi/2 對 根號(1 減 k^2 sin^2 theta) d theta 的積分。參數 k 介於 0 與 1 之間，稱為模。當 k = 0 時二者都化為初等值，K(0) = E(0) = pi/2；當 k 趨於 1 時，K(k) 以對數方式發散，而 E(1) = 1。「完全」一詞表明上限固定在 pi/2——一個完整的四分之一圈——以區別於上限為自由變量的不完全版本。

K 與 E 是處理大擺幅鐘擺（其週期為 4 除以固有頻率再乘 K(擺幅一半的正弦)）、橢圓周長（涉及 E）、電流環的磁場、梁的挫曲，以及許多曲線弧長的精確工具。它們可用算術-幾何平均極快地計算，所以橢圓積分雖是非初等的，在數值上卻不比正弦或對數更難求。