雅可比橢圓函數（Jacobi elliptic functions）
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正弦與餘弦是最簡單弧長積分的反函數，那個含 根號(1 減 x^2) 的積分。如果改從橢圓弧長積分出發，它的反函數是一對新的週期函數。雅可比橢圓函數 sn、cn 和 dn 正是正弦和餘弦的這種推廣——仍是週期的，但具有由模控制的更豐富的雙週期結構。
它們通過對第一類不完全橢圓積分求反來定義：若 u = F(phi, k)，則 sn(u, k) = sin phi、cn(u, k) = cos phi、dn(u, k) = 根號(1 減 k^2 sin^2 phi)。它們滿足類似圓三角的恒等式——sn^2 加 cn^2 = 1 與 k^2 sn^2 加 dn^2 = 1——以及簡潔的導數 d(sn)/du = cn 乘 dn。當模 k = 0 時它們退化為 sn = sin、cn = cos、dn = 1；當 k = 1 時退化為雙曲函數 sn = tanh、cn = dn = sech。對中間的 k，它們有兩個週期（一實一虛），成為複變量的雙週期函數。
雅可比函數給出非線性鐘擺的精確解、旋轉剛體的運動（歐拉方程）、淺水波與 KdV 理論中的橢圓餘弦波和孤立波，以及非線性電路中的振盪。凡是小角度線性化太粗糙、需要真正非線性振盪之處，sn、cn 和 dn 都提供普通正弦餘弦給不出的閉式答案。
幅度為 theta_0 的鐘擺的精確擺動是 theta(t) = 2 arcsin( k sn(omega t, k) )，其中 k = sin(theta_0/2)；當 theta_0 趨於 0 時，k 趨於 0，sn 趨於 sin，於是退化為熟悉的小角度餘弦運動。
sn 在普通正弦（k = 0）與 tanh 形孤立波極限（k = 1）之間平滑插值。
雅可比函數總共有十二個（sn、cn、dn 及其倒數與比值），而模的約定（k 還是 m = k^2）在不同文獻中又有差異——要與你的軟件約定一致。