不完全橢圓積分（incomplete elliptic integral）
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完全橢圓積分回答的是「整個四分之一擺有多長」。但你常常想要部分答案——鐘擺走過某個給定角度後到了多遠，或者橢圓從頂端到某點的弧長。不完全橢圓積分保持上限自由，因而把累積量作為「你在何處停下」的函數來追蹤。
第一類不完全橢圓積分是 F(phi, k) = 從 0 到 phi 對 d theta 除以 根號(1 減 k^2 sin^2 theta) 的積分，第二類是 E(phi, k) = 從 0 到 phi 對 根號(1 減 k^2 sin^2 theta) d theta 的積分。新變量 phi 是幅角（上限）；模 k 仍然控制平方根的偏心程度。令 phi = pi/2 即恢復完全積分：F(pi/2, k) = K(k)、E(pi/2, k) = E(k)。這是勒讓德標準形式，任何橢圓積分——任何關於變量與三次或四次式平方根的有理函數的積分——都能用標準代換約化到它。
不完全橢圓積分描述部分弧長、有限鐘擺擺動的時間-角度關係、帶電粒子的軌跡，以及定義雅可比橢圓函數的反演關係：sn、cn 和 dn 實際上就是 F(phi, k) 關於其幅角的反函數。把一個雜亂的平方根積分約化為勒讓德的 F 和 E 形式是核心的計算技能，此後快速的標準例程便能完成餘下的工作。
F(pi/6, 0.5) = 從 0 到 pi/6 對 d theta 除以 根號(1 減 0.25 sin^2 theta) 的積分 約等於 0.5294，是一次部分擺動；把上限推到 pi/2 則得到完全值 K(0.5) 約等於 1.6858。
上限 phi 自由的不完全積分不斷增長，恰在 phi 達到 pi/2 時與完全積分相遇。
幅角 phi 與模 k 是兩個獨立的自變量，不要把它們合併。完全積分是 phi = pi/2 的特例，並非另一個函數。