魏爾斯特拉斯橢圓函數（Weierstrass elliptic function）
/ VY-er-shtrahss /
如果你想要盡可能簡潔的雙週期函數——一個在複平面整片平行四邊形格點上重複的函數——魏爾斯特拉斯橢圓函數就是標準答案。雅可比函數源自實弧長問題，而魏爾斯特拉斯 P 函數直接由一個格構造，是所有橢圓函數的天然基本構件。
它定義為一個格求和：P(z) = 1 除以 z^2 加上 對所有非零格點 omega 求和的 ( 1 除以 (z 減 omega)^2 減 1 除以 omega^2 )。求和內部的相減正是使該級數收斂的關鍵。P(z) 是偶函數，在每個格點處有二階極點，並且是雙週期的——對每個格向量 omega 有 P(z 加 omega) = P(z)。它的核心性質是所滿足的微分方程：(P 撇)^2 = 4 P^3 減 g_2 P 減 g_3，其中格不變量 g_2 和 g_3 是固定的數。這個代數關係恰好是橢圓曲線的方程，這正是 P 參數化橢圓曲線、把分析的這一角與數論聯繫起來的原因。
魏爾斯特拉斯函數是把任何三次或四次式在平方根下以最對稱形式積分的標準工具，是某些陀螺和測地線問題精確解的工具，也是現代數論與密碼學中廣泛使用的橢圓曲線理論的基礎。雅可比的 sn、cn、dn 與魏爾斯特拉斯的 P 從兩個互補的視角描述同一個雙週期函數的世界，並有顯式公式在二者之間轉換。
反過來看那條代數關係，積分 對 dx 除以 根號(4 x^3 減 g_2 x 減 g_3) 的積分 的解是 x = P(z)：魏爾斯特拉斯函數是那個三次式平方根積分的反函數，正如 sin 是二次式平方根積分的反函數。
P 把三次式開方下的積分變成一個乾淨的反函數，是反正弦的橢圓類比。
P 在一個格上是雙週期的，而不像正弦那樣單週期；一個非常數的雙週期解析函數必有極點（劉維爾定理），所以 P 必然在格點處有二階極點。