函數序列與級數
魏爾斯特拉斯 M 判別法
M 判別法是證明函數級數一致收斂最省心的辦法。訣竅是乾脆忘掉變量：把每一項用一個不依賴於 x 的常數界住，再檢查這些常數之和有限。只要有一個收斂的數項級數壓住整個函數級數，一致性便免費奉送。
陳述：設 f_n 是集合 E 上的函數，且存在常數 M_n，使得對所有 x 屬於 E 都有 |f_n(x)| <= M_n，並且數項級數 sum M_n 收斂。則級數 sum f_n(x) 在 E 上一致（且絕對）收斂。這些 M_n 是上界——通常取 M_n = sup 關於 x 的 |f_n(x)| 最為銳利，但任何有效的界都行。
證明其實是喬裝的一致柯西準則：尾部 |sum_{k=n+1}^m f_k(x)| <= sum_{k=n+1}^m M_k，而右端與 x 無關，並因 sum M_n 收斂而趨於 0。一個誠實的侷限：M 判別法只能識別絕對一致收斂，故它無法判定那些僅靠微妙相消才一致收斂的級數（對這類級數，應改用狄利克雷判別法或阿貝爾判別法）。
考察整條實軸上的級數 sum_{n>=1} sin(nx)/n^2：|sin(nx)/n^2| <= 1/n^2 = M_n，而 sum 1/n^2 = pi^2/6 < infinity。由 M 判別法，該級數在 R 上一致收斂；又因每一項都連續，其和是 R 上的連續函數。
一個收斂的數項級數壓住級數並強制一致收斂。
另見