函數序列與級數
一致收斂
逐點收斂允許每個點按自己的節奏走；一致收斂卻要求它們齊步前進。想像在極限函數 f 周圍畫一條半寬為 epsilon 的管子。一致收斂是說：從某個下標 N 起，f_n 的整張圖像都落在那根管子裡——定義域上沒有任何一點被允許探出去。一個界、一個 N，整個定義域一齊滿足。
確切地說：f_n 在 E 上一致收斂到 f，是指對每個 epsilon > 0，都存在 N（僅依賴於 epsilon，而不依賴於 x），使得當 n >= N 時對所有 x 屬於 E 都有 |f_n(x) - f(x)| < epsilon。等價地，關於 x 取上確界的 sup |f_n(x) - f(x)| 隨 n -> infinity 趨於 0。這個度量最壞情形差距的單一數值，就是 f_n - f 的上確界範數。
一致收斂是分析學的主力假設，因為它把良好性質傳遞給極限：連續函數的一致極限仍連續，可以逐項積分，並且（在導數滿足額外假設時）可以逐項微分。代價是它確實比逐點收斂更強，即便逐點收斂完美成立，一致收斂也可能失敗。
取 [0,1] 上的 f_n(x) = x^n。逐點極限不連續，故它不可能是連續函數的一致極限；事實上對每個 n，在 [0,1) 上 sup |x^n - 0| = 1，永不縮小。但在固定的 a < 1 的區間 [0, a] 上，sup |x^n| = a^n -> 0，於是 f_n 在那裡一致收斂到 0。同一個序列，在較小的集上一致收斂，在整個集上則不然。
一致性依賴於定義域：x^n 在 [0,a]（a<1）上一致，但在 [0,1) 上不一致。
快速判否：若 sup |f_n(x) - f(x)| 不趨於 0，則收斂不是一致的。這一個計算就能立刻解決大多數課本例子。
另見