函數序列與級數
逐點收斂
想像一整支函數大軍 f_1, f_2, f_3, ……，你希望說它們安定下來收斂到某個極限函數 f。最省力的檢驗辦法是：站在某一個輸入 x 上把它固定住，盯著數列 f_1(x), f_2(x), f_3(x), ……看。如果這串數收斂到 f(x)，你就贏得一個點——真的就是一個點。逐點收斂的意思就是你在每一個 x 處都贏，但每個 x 各自獨立受審，點與點之間毫無協調。
確切地說：定義在集合 E 上的函數序列 f_n 逐點收斂到 f，是指對 E 中每一個 x，實數列 f_n(x) 都收斂到 f(x)。用量詞寫清楚：對每個 x 和每個 epsilon > 0，都存在 N（它可以同時依賴於 x 和 epsilon），使得當 n >= N 時 |f_n(x) - f(x)| < epsilon。關鍵片語是「可以依賴於 x」：不同的點允許以截然不同的速度收斂。
人人都會栽跟頭的誠實警告：逐點收斂幾乎保不住你在意的任何性質。連續函數可以逐點收斂到一個不連續的極限；f_n 的積分與導數也未必趨向 f 的積分與導數。正是這種脆弱性，催生了一致收斂——在那裡同一個 N 對所有 x 一齊生效。
在 [0,1] 上令 f_n(x) = x^n。當 x < 1 時 x^n -> 0；當 x = 1 時 x^n = 1 -> 1。於是 f_n 逐點收斂到這樣的 f：在 [0,1) 上為 0，在 x = 1 處為 1。每個 f_n 都連續，極限卻出現跳躍——這是僅有逐點收斂時連續性失效的生動例子。
[0,1] 上的 x^n：連續的項，不連續的逐點極限。
逐點收斂是最弱的自然概念：一致收斂蘊含它，反之不成立。當你看到不帶限定語的「f_n -> f」時，由上下文判斷指哪一種——分析學家通常會明確標出一致收斂。
又稱
另見