函數序列與級數
極限函數
當一列函數收斂時，其歸宿本身是一個函數——極限函數。這裡不是用單個數作為數列的極限，而是用整整一個函數 f 作為函數序列 f_n 的極限。它是逐值搭建的：在每個輸入 x 處，取 f_n(x) 的普通數值極限。
定義：若 f_n 在 E 上逐點收斂到 f，則極限函數為 f(x) = lim_{n->infinity} f_n(x)，對每個 x 屬於 E 逐值定義。對級數而言，極限函數是和 s(x) = lim_{N->infinity} sum_{n=1}^N f_n(x)，即部分和的極限。無論收斂是逐點的還是一致的，所得的 f 都相同；收斂的方式絲毫不改變 f 是哪個函數，只改變 f 在多大程度上繼承 f_n 的良好性質。
整個課題就是研究極限函數繼承了什麼。僅在逐點收斂下，f 可能是個狂野的對象——不連續、不可積，或具有「錯誤的」積分與導數。在一致收斂下，f 繼承連續性，並（小心起見）繼承可積性與可微性。所以當你遇到一個極限函數時，第一個問題永遠是：f_n 是以何種意義收斂到它的？
在 [0, 1] 上令 f_n(x) = nx/(1 + n^2 x^2)。對每個固定的 x > 0，f_n(x) -> 0；又 f_n(0) = 0。故極限函數恆為 f(x) = 0。然而對所有 n 都有 f_n(1/n) = 1/2，於是圖像始終有一個高度 1/2 的凸包，向左滑向 0——收斂到零極限函數是逐點的，而非一致的。
滑動的凸包：逐點極限為 0，但凸包永不縮小。
另見