數列的極限

把數列的各項想像成一根接一根落在數線上的圖釘。對某些數列而言，這些圖釘越來越緊密地聚攏在某一點周圍，以致從某處之後，幾乎所有圖釘都落在你圍繞該點畫出的任意小視窗之內。那個目標點就是極限：當你不斷往後走時，各項任意逼近的那個值。

若數列 (a_n) 的各項最終進入並停留在 L 的任意給定容差之內，我們就說該數列以 L 為極限，記作 a_n -> L 或 lim a_n = L。關鍵詞是「進入並停留」：偶爾造訪 L 附近並不夠；從某個索引起，各項必須一直保持接近。下一詞條給出這一思想精確的 epsilon-N 表述。

極限若存在，則唯一——一個數列不可能同時逼近兩個不同的值。但存在性並無保證：許多數列根本沒有極限。誠實地區分「極限為 L」與「極限不存在」，是嚴格分析的首要功夫之一，這也是為什麼非正式的「逼近」一詞終究必須被精確定義所取代。