數列及其極限
epsilon-N 定義
正是這個定義把含糊的「各項逼近 L」變成連懷疑論者也無法抵賴的東西。想像一場挑戰遊戲：對手報出一個容差 epsilon，無論多麼小，你都必須保證從某處起每一項都落在 L 的 epsilon 之內。若你總能應戰，則極限為 L。
確切地說：a_n -> L 意味著對每個 epsilon > 0，都存在自然數 N，使得對一切 n > N 有 |a_n - L| < epsilon。拆解這些符號：epsilon 是所要求的接近程度，N 是保證開始生效的索引，而 |a_n - L| < epsilon 表示項 a_n 落在開區間 (L - epsilon, L + epsilon) 內。N 允許依賴於 epsilon——更小的容差通常需要等更久。
量詞的順序至關重要。它讀作「對一切 epsilon，存在 N，對一切 n > N」；若把「對一切 epsilon」與「存在 N」對調，就會錯誤地要求單獨一個 N 同時適用於每個容差。掌握這個定義——以及用於證明發散的它的否定形式——是嚴格分析的入門關卡，因為此後每一個極限概念都仿照它而建。
證明 1/n -> 0：給定 epsilon > 0，取 N 為任一滿足 N > 1/epsilon 的整數。則當 n > N 時有 |1/n - 0| = 1/n < 1/N < epsilon。對每個 epsilon 挑戰都被應下，故極限為 0。
一個教科書式的 epsilon-N 證明：用 epsilon 明確給出 N，再驗證不等式。
嚴格不等號可以無害地放鬆：「對一切 n >= N」或「|a_n - L| <= epsilon」定義的是完全相同的極限。不可放鬆的是量詞的順序。
又稱
另見