epsilon–delta（ε–δ）

設想一個挑戰遊戲。懷疑者先給出一個目標容差 epsilon——你必須把答案逼近到多近。你則必須回應一個餘量 delta——輸入要離目標多近，才能保證你落在容差之內。如果無論懷疑者給的 epsilon 多小你都能取勝，那麼這個極限就成立。

epsilon–delta 語言正是把含糊的「靠近」一詞轉化為精確邏輯命題的量化機制。當 x -> a 時 f(x) 的極限等於 L，意思是：對每個 epsilon > 0 都存在一個 delta > 0，使得只要 0 < |x - a| < delta，就有 |f(x) - L| < epsilon。量詞的順序至關重要——delta 是在 epsilon 之後選取的，並且可以依賴於 epsilon。

這一由魏爾斯特拉斯臻於完善的表述，徹底取消了對運動、無窮小或把「趨近」當作物理過程的任何訴諸。極限、連續、導數與積分的整座大廈都建立在它之上。一個常見的混淆是：必須對所選的 delta 鄰域使 |f(x) - L| < epsilon 成立——僅僅說 f(x) 最終會靠近是不夠的；一旦 x 落在 a 的 delta 範圍內，f(x) 就必須始終保持靠近。