函數的極限

想像你正走向一扇門口。函數的極限就是當你的輸入越來越靠近某個目標點時,你的取值正在趨向的那個位置——即使你永遠沒能真正到達,即使那扇門本身是鎖著的(函數在目標點可能沒有定義,或取了別的值)。極限只關心趨近的過程,而從不關心目的地本身。

確切地說,當 x 趨近 a 時 f(x) 的極限為 L,記作 lim_{x->a} f(x) = L,意思是:只要取 x 充分靠近 a(但不等於 a),就能迫使 f(x) 任意地接近 L。點 a 不必屬於 f 的定義域,但它必須是定義域的聚點,這樣才有任意靠近 a 的輸入可供趨近。

一條微妙卻關鍵的規則:函數值 f(a) 與極限無關。設 g(x) = x,又設 h(x) 在 x 不等於 0 時取 x、在 0 處取 7,則當 x -> 0 時二者的極限都是 0,儘管 h(0) = 7。正因如此,定義連續性、導數與積分時所依據的才是極限而非函數值。