連續性

連續性是「一筆畫出曲線、筆不離紙」的數學版本:鄰近的輸入映到鄰近的輸出,沒有突然的跳躍、缺口或孔洞。圖像是流暢的,你可以不間斷地穿過該點把它描出來。

形式上,f 在其定義域中的點 a 處連續,是指 lim_{x->a} f(x) = f(a)。展開這條極限即:對每個 ε > 0,都存在 δ > 0,使得只要 |x - a| < δ 且 x 在定義域內,就有 |f(x) - f(a)| < ε。與單純的極限定義相比,這裡去掉了嚴格的 0 < |x - a|,並要求極限值恰等於 f(a)——因此連續性同時要求三件事:f(a) 有定義、極限存在、且二者相等。

在定義域的孤立點處,連續性自動成立且無須檢驗(任何函數在那裡都連續);在聚點處,它恰好退化為極限條件。微積分裡熟悉的函數——多項式、指數、正弦,以及它們在各自定義域上的和、積、商與複合——全都是連續的,正因如此,我們往往要到連續性失效時才注意到這個條件。