連續性的序列判別法

檢驗一個函數是否從不跳躍,有兩條路。一條用 ε 和 δ,另一條用序列。序列判別法說:函數在某點連續,當且僅當它把每個收斂到該點的序列,送到一個收斂到該點函數值的序列上。連續性恰恰就是對收斂的保持。

確切地說,f 在 a 處連續,當且僅當對定義域中每個滿足 x_n -> a 的序列 (x_n),都有 f(x_n) -> f(a)。注意這裡與函數極限不同:允許 x_n 等於 a,連續性並不把該點本身排除在外。

這條判別法是證明間斷的利器:要證 f 在 a 處不連續,只需舉出一個 x_n -> a 而 f(x_n) 不收斂到 f(a) 的序列即可。它還能乾淨俐落地把序列的極限運算律搬到函數上,並通向度量空間中更一般的「序列連續性」,在那裡它與通常的連續性一致。