間斷

間斷就是筆必須離開紙面之處——定義域中某一點,函數順暢的流動在此斷裂。某處出了岔子:也許函數跳躍,也許有個洞被填上了錯誤的值,也許它劇烈振盪,或衝向無窮。

確切地說,f 在其定義域的點 a 處間斷,是指它在該處不連續:lim_{x->a} f(x) 要麼不存在,要麼存在卻不等於 f(a)。間斷按連續性失效的嚴重程度分類。若兩個單側極限都存在(且有限),則為第一類間斷——或為可去間斷(極限相等卻錯過 f(a)),或為跳躍間斷(極限不相等)。否則為第二類間斷,即至少有一個單側極限不存在。

一個老實的提醒:「間斷」只在真正屬於定義域的點上才有意義。函數 1/x 並非在 0 處間斷;0 不在它的定義域內,根本談不上間斷。函數發生跳躍的點集可能大得出人意料——單調函數可以有無窮多個跳躍,不過始終只是可數無窮多個。