函數的極限與連續性
跳躍間斷
想想一段臺階,或一個在鐘敲正午那一刻立即上調的價格。從此刻之前趨近,數值通向一處;從此刻之後趨近,則通向另一個值。函數跨越一道縫隙一躍而過——這道縫隙就是跳躍間斷。
形式上,f 在 a 處有跳躍間斷,是指兩個單側極限都存在且有限但不相等:lim_{x->a-} f(x) = L1,lim_{x->a+} f(x) = L2,且 L1 不等於 L2。跳躍的大小是 |L2 - L1|。無論 f(a) 取何值,都無法彌補這道斷裂,因為左右趨近彼此不一致。
跳躍間斷屬於第一類間斷,與可去間斷不同,它無法靠重新定義單個值來修復。一個值得記住的乾淨結論:單調函數只能有跳躍間斷(其單側極限總存在),而且至多有可數無窮多個——因此它的間斷點集儘管可能無窮,卻絕不會大到像一個區間那樣。
亥維賽階躍函數 H(x):x < 0 時取 0,x >= 0 時取 1,在 0 處有跳躍間斷:lim_{x->0-} H = 0,而 lim_{x->0+} H = 1,跳躍大小為 1。
有限的單側極限不相等:大小為 1 的跳躍。
又稱
另見