可去間斷

想像一條光滑曲線上有個針尖大的洞,或某個點被挑起來放錯了地方。可去間斷正是這種無害的瑕疵:只要在那一個點上重新定義,函數就會連續。修復只需付出一個值的代價。

形式上,f 在 a 處有可去間斷,是指 lim_{x->a} f(x) 存在(為有限值 L),但 f 在該處不連續——或因 f(a) 沒有定義,或因 f(a) 有定義卻不等於 L。重新定義 f(a) := L,便得到一個在 a 處連續的函數,從而「去掉」了間斷。

這是連續性失效中最溫和的一類,是一種第一類間斷,其中兩個單側極限都存在且相等。化簡像 (x^2 - 1)/(x - 1) 這樣的表達式時所填補的每一個「洞」,背後都是這種情形:該代數式在 x = 1 處沒有定義,但那裡的極限是 2,填入值 2 即可彌合。