單調數列

單調數列只朝一個方向運動。想像一位徒步者，他要麼從不下坡，要麼從不上坡：單調數列隨著索引前進要麼從不減小，要麼從不增大。它可以在高原上停留（重複某個值），卻從不掉頭。

正式來說，若對一切 n 有 a_n <= a_{n+1}，則稱 (a_n) 遞增；若對一切 n 有 a_n >= a_{n+1}，則稱其遞減；兩種情形都稱為單調。當不等號嚴格成立（a_n < a_{n+1} 或 a_n > a_{n+1}）時，數列稱為嚴格遞增或嚴格遞減。「不減」一詞常作為遞增的同義語，以強調允許相鄰項相等。

單調性之所以可貴，在於它馴服了極限的桀驁。對一般數列，你必須排除振盪才能證明收斂，但單調數列無法振盪——它只能穩步上升、穩步下降或趨於平穩。再配上有界性，便徑直逼出收斂，這正是單調收斂定理的內容。