上確界

集合的上確界是它可能達到的最緊的天花板。在所有從上方界住該集合的數中，上確界是最小的那個，是這樣一道天花板：再往下壓一絲，就會有某個元素冒出來。

形式上，若滿足兩個條件，則稱數 s 為 S 的上確界，記作 sup S：s 是 S 的上界，且沒有比 s 更小的數是上界。第二個條件可以更有用地重述為：對每個正數 epsilon，S 中都有某個元素超過 s 減 epsilon。所以上確界可被集合中的成員從下方任意逼近。

上確界既可能屬於集合，也可能不屬於。對從 0 到 1 的閉區間，上確界是 1，它在集合中；對從 0 到 1 的開區間，上確界仍是 1，它不在集合中。當上確界確實屬於集合時，它同時就是最大值。

「每個非空且有上界的實數集都確實有上確界」這一深刻事實，就是最小上界性質，正是它使實數完備。有理數不具備這一性質：平方小於 2 的有理數集合有有理數上界，卻沒有有理數的最小上界，因為那道自然的天花板，即二的平方根，是無理數。