最大值與最小值

集合的最大值是它唯一最大的成員，最小值是它唯一最小的成員，前提是這樣一位冠軍確實屬於該集合。最大值是恰好被取到的上確界；最小值是被取到的下確界。

確切地說，若 M 屬於 S 且對每個屬於 S 的 x 都有 x 至多為 M，則 M 是 S 的最大值；最小值按鏡像方式定義。與上確界、下確界的關鍵區別在於是否屬於集合：上確界無論是否落在集合中都是最小上界，而最大值必須是貨真價實的元素。所以即便上確界存在，集合也完全可能沒有最大值。

從 0 到 1 的開區間清楚地展示了這一差異：它的上確界是 1，下確界是 0，卻既無最大值也無最小值，因為兩個端點都未被包含。相比之下，從 0 到 1 的閉區間有最大值 1 與最小值 0。

在一些重要情形下，極值的存在是貨真價實的定理。極值定理保證閉有界區間上的連續函數既取到最大值又取到最小值，這一事實牢牢依賴於完備性，在有理數上就會失效。