有界集

有界集是能裝進一個有限窗口的集合：存在一道左牆和一道右牆，整個集合都住在它們之間。集合中沒有任何元素跑向正無窮或負無窮。

確切地說，若實數集 S 既有上界又有下界，即存在數 m 與 M 使對每個屬於 S 的 x 都有 m 至多為 x，x 至多為 M，則稱 S 有界。一個等價的單一條件是：存在數 R 使對所有屬於 S 的 x 都有 |x| 至多為 R，於是整個集合都落在從負 R 到 R 的區間之內。

有界性是貫穿分析的常見假設。由完備性，非空有界實數集自動既有上確界又有下確界；有界單調序列收斂；並且由波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理，每個有界序列都有收斂子列。有界性往往正是阻止逃向無窮的那個條件。

請注意：有界不等於有限，也不等於閉。從 0 到 1 的區間有界卻無限，從 0 到 1 的開區間有界卻不閉。在直線上，正是「有界且閉」這一組合才給出緊緻性。