海涅–博雷爾定理

海涅–博雷爾定理是抽象的、基於覆蓋的緊性定義與我們從微積分中帶來的具體圖景之間的橋梁。它說，在普通的歐幾里得空間裡，那個難以捉摸的條件「每個開覆蓋都有有限子覆蓋」，簡化為你一眼就能驗證的兩件事：集合是閉的，且是有界的。

確切地說：R^n 的子集是緊的當且僅當它既閉且有界。於是閉圓盤、閉球、球面、或區間 [a, b] 都是緊的；而開區間（它不閉）、整條直線（它無界）、或整數集（閉但無界）則不是。

該定理是有限維歐幾里得空間所獨有的——它真正的內容在於困難的方向，即「既閉且有界」逼出有限子覆蓋性質。在一般度量空間中，閉且有界是必要而非充分的：無窮維巴拿赫空間的閉單位球既閉且有界，卻出名地不緊。所以切勿把「緊 = 既閉且有界」推廣到 R^n 之外；正確的一般判據是（在完備空間中）閉且全有界。