完備度量空間

完備度量空間是沒有任何空洞的空間：每當一個序列擠得如此緊密，以致它的各項彼此任意接近時，那裡實際上就有一個點正等著它去收斂。任何本該有極限的東西都不會被遺棄。

嚴格地說，度量空間 (X, d) 稱為完備的，如果 X 中每個柯西序列都收斂到 X 中的某點。柯西序列是各項最終聚攏的序列：對每個 epsilon > 0 存在 N，使得當 m, n >= N 時 d(x_m, x_n) < epsilon。完備性斷言這種內部的收緊足以保證空間內部確有一個極限。

實數 R 是完備的——這正是微積分得以運轉的原因——但有理數 Q 不是：逼近 pi 的十進制序列 3, 3.1, 3.14, 3.141, ... 在 Q 中是柯西序列，卻沒有有理極限，因為 pi 是無理數。因此完備性並非理所當然；它是一條強而有價值的性質，也正是完備化所修補的對象。