巴拿赫空間

巴拿赫空間是沒有空洞的賦範向量空間。範數給你度量距離的方法，而完備性保證任何各項彼此擠得任意接近的序列都確實有一個落在空間內部的極限。這與把（滿是縫隙的）有理數升級成實數是同一種操作，只不過現在施加在函數、序列或算子構成的空間上。

嚴格地說，巴拿赫空間是一個賦範向量空間 (V, ||·||)，它在度量 d(x, y) = ||x - y|| 下作為度量空間是完備的：V 中每個柯西序列都收斂到 V 中的一點。完備性正是讓你能把對象構造為極限——微分方程的解、壓縮映射的不動點、函數無窮級數之和——並確信極限確實在你期望之處存在的關鍵。

分析學家關心的大多數空間都是巴拿赫空間：上確界範數下的連續函數 C[a, b]、勒貝格空間 L^p（1 <= p <= 無窮）、序列空間 l^p。一個不完備的賦範空間總可以擴充為它的完備化，即一個巴拿赫空間，原空間作為稠密子集嵌入其中。[0, 1] 上上確界範數下的多項式並不完備；由魏爾斯特拉斯逼近定理，它們的完備化恰好就是 C[0, 1]。