柯西數列

柯西數列是其各項最終彼此挨作一團的數列，與任何外部目標無關。判據純粹是內部的：走得足夠遠後，任意兩項彼此任意接近——不是接近某個指定的極限，而僅僅是彼此接近。它刻畫了數列「收緊」的想法，而無需先知道它駛向何方。

確切來說：若對每個 epsilon > 0 都存在 N，使得對一切 m, n > N 有 |a_m - a_n| < epsilon，則稱 (a_n) 是柯西數列。試與極限的 epsilon-N 定義對照，後者把 a_n 與固定的 L 相比；這裡比較的是成對的項。這正是它的一大優點：你無需指出甚至無需知道極限，就能認定柯西性。

在實數中，柯西與收斂是等價的——數列收斂當且僅當它是柯西數列。這一等價性恰恰是 R 的完備性，也正是它使 R 成為完備空間。微妙之處在於這一等價在別處可能失效：在有理數中，sqrt(2) 的十進制截斷數列是柯西數列，卻沒有有理極限。有理數不完備，而這個缺口正是實數所填補的。