完備性公理

完備性公理斷言實數軸是密實的，沒有任何本應有數卻空缺的位置。正是它把僅僅滿足算術運算的實數變成一個連續統，使極限、導數和積分得以棲居其上。

對有序體而言，表述完備性有若干等價方式。最常見的是最小上界性質：每個非空且有上界的集合都有上確界。等價的表述還包括：每個柯西序列都收斂、每個有界單調序列都收斂、嵌套的閉區間有公共點、每個戴德金分割都由某個數實現。在阿基米德有序體上，這些說的是同一件事。

完備性正是有理數所缺、實數所補的東西。它不是體公理或序公理的推論，必須額外添加。在重新標號的意義下，實數是唯一的完備有序體，所以完備性連同「是有序體」這一點，就把實數完全確定下來。

一個微妙的提醒：單憑柯西完備性、而不假定阿基米德性質，要弱於最小上界完備性。只有當你同時假定這條直線沒有無窮大或無窮小元素時，兩者才一致。