戴德金分割

戴德金分割是一種透過精確說明哪些有理數位於某實數之下來確定該實數的方法。你把有理數軸乾淨俐落地切成左右兩塊，而切口本身的位置就是你所命名的數，即便那裡恰好沒有任何有理數。

形式上，戴德金分割是一個有理數集合 A，它非空、不等於全體有理數、向下封閉（即若 q 屬於 A 且 p 小於 q，則 p 屬於 A），且沒有最大元。每個這樣的 A 都被規定為一個實數。有理數以「所有小於固定 q 的有理數」這一形式的分割嵌入其中，而實數上的序就是左塊的集合包含關係。

這一由戴德金給出的構造從有理數造出實數，並把完備性證明出來而非假定它。最小上界性質幾乎變得顯然：給定一族有界的分割，它們左塊的並本身就是一個分割，且正是它們的上確界。有理數在二的平方根處的縫隙，由「所有平方小於 2 的有理數連同所有負有理數」這一分割補上。

戴德金分割是實數兩種經典構造之一，另一種是有理數柯西序列的等價類。兩者在同構意義下給出同一對象，即唯一的完備有序體，所以採用哪種都無所謂；分割使序與完備性變得透明，而柯西序列使算術與度量完備性變得透明。