連續統

設想一把理想化的、完全沒有縫隙的尺子：任意兩個刻度之間還有無窮多個刻度，而且關鍵在於，沒有任何一處「本應有刻度」卻空缺的缺口。那把沒有縫隙的尺子就是連續統——作為完備而不間斷的量度模型的實數軸。

連續統就是實數集 R，連同其序與完備性：每個非空且有上界的集合都有最小上界。正是這種完備性填補了有理數留下的空洞——sqrt 2、pi 與 e 都是連續統上貨真價實的點，儘管在 Q 中它們各自都是一個缺口。連續統就是這樣一個家：極限若該存在，便確實存在於其中。

有兩個事實賦予連續統以特性。它是稠密有序的（任意兩個實數之間還有一個實數），同時又是完備的（沒有縫隙），二者合起來正是有理數所缺的——Q 稠密卻佈滿空洞。而且連續統是不可數的：由康托爾對角線論證，實數嚴格多於有理數，所以這條直線遠比那些有名字（如分數）的點所能填滿的要「厚」得多。