實分析

實分析研究的是實數軸以及生活在其上的一切——序列、函數、導數、積分——並以嚴格的方式展開。如果說分析是一座城市，實分析就是它的地基與老城區：其他一切都是從這些街道向外擴建出去的。

具體而言，實分析在實數 R 上發展極限、連續、微分以及黎曼（其後是勒貝格）積分的理論，從那些使 R 成為完備有序域的公理出發。把 R 與有理數 Q 區分開來的那個唯一性質——完備性，即沒有縫隙——正是使核心定理（介值定理、極值定理、柯西序列收斂）成立的原因。

實分析在一種精確的意義上是基礎性的：複分析、測度論、泛函分析與微分方程都建立在它的結果之上，並繼承它的證明標準。值得強調的一點是：學生日後遇到的幾乎每一處困難與反例，都已在實數軸上的實分析中以微縮形式出現過——這恰恰是它被最先講授的原因。