不可數集

不可數集是大到無法列舉的無窮集——沒有辦法把它的元素枚舉成一個以自然數為下標的序列，因為任何提議的清單都必然漏掉某物。不可數性揭示了無窮有不同的大小：在 N、Z、Q 的可數無窮之外，存在一個嚴格更大的無窮，其首要範例就是實數集。

嚴格地說，一個集合是不可數的，若它無窮卻不與 N 的任何子集之間存在雙射——等價地，不存在從 N 到它的滿射。基準定理出自康托爾：區間 (0, 1)，從而整個 R，是不可數的。它的基數稱為連續統的基數，嚴格大於自然數的基數。

不可數性在分析中是有分量的。由於 Q 可數而 R 不可數，「絕大多數」實數是無理數；事實上無理數不可數，而有理數構成一個測度為零的集合。同樣的大小差距解釋了為何不能僅靠對點求和來積分，以及為何需要測度論而非樸素計數來駕馭連續統。康托爾定理更進一步：任何集合的冪集都嚴格大於該集合，從而產生一座由越來越大的無窮疊成的無盡高塔。