基數

基數是集合「大小」的精確概念，它不靠點數，而靠透過函數進行的比較來定義。兩個集合有相同基數，當它們之間存在雙射時；一個集合的基數至多為另一個，當存在到後者的單射時。這一定義根本不需要任何數，故能從有限的匯集優雅地推廣到無窮的匯集，而後者中尋常的點數已失效。

對有限集，基數就是元素的個數，|A| = n。對無窮集，它成為一個真正嶄新的想法，並帶來驚奇：自然數、整數與有理數都共享同一基數，記作 ℵ0（阿列夫零），是最小的無窮基數；而實數則有嚴格更大的連續統基數 c = 2^(ℵ0)。康托爾–施羅德–伯恩斯坦定理使我們安心：這一序關係表現合理：若兩個集合各自單射進入對方，則它們基數相等。

康托爾定理表明基數攀升永無止境：對每個集合 A，其冪集的基數嚴格大於 A，故不存在最大的無窮。一個著名而懸而未決的微妙之處是連續統假設——是否有基數嚴格介於 ℵ0 與 c 之間——哥德爾與科恩證明它無法由標準公理證明或否證。在分析中，基數解釋了為何有理數可以忽略（測度為零）而無理數填滿了數軸。