雙射

雙射是同時為單射與滿射的函數——兩個集合之間一種完美、無損的配對，其中定義域的每個元素恰與陪域的一個元素相配，反之亦然。想像舞者的精確配對：無人沒有舞伴（滿射），也沒有兩人共用一個（單射）。既無遺漏，也無重複。

等價地，f : A → B 恰當它有雙側逆時為雙射：存在函數 g : B → A 使對所有 x 有 g(f(x)) = x，對所有 y 有 f(g(y)) = y。這樣一個逆的存在是最乾淨的刻畫，而該逆自身自動也是雙射。雙射可以複合：兩個雙射的複合仍是雙射。

雙射是衡量大小的尺子。兩個集合被說成有相同的基數，恰當它們之間存在一個雙射，這一定義即便對無窮集也行得通，並帶來驚奇——自然數與偶數之間、與有理數之間都有雙射，但與實數之間沒有（康托爾）。在分析中，區間之間保序的雙射就是變數替換，是積分換元背後的引擎。