有理數的稠密性

有理數沿著實數軸密密地撒布：在任意兩個不同的實數之間，無論它們多麼接近，你總能找到一個分數。不存在窄到容不下任何有理數的縫隙。

確切地說：若 a 小於 b，則存在有理數 q 使 a 小於 q 且 q 小於 b。證明利用阿基米德性質選取一個足夠大的分母 n，使 1 除以 n 小於 b 減 a，此後 1 除以 n 的某個倍數必落在 a 與 b 之間且嚴格介於其間。

稠密性正是有理數能以任意精度逼近任何實數的原因，也是它們構成實數中一個可數卻稠密的子集的原因。同樣的論證表明無理數也是稠密的：任意兩個實數之間也有無理數，例如把一個有理數平移二的平方根除以一個大整數即可。

切勿把稠密與完備混淆。有理數在實數中稠密，卻不完備；稠密說的是它們能任意逼近每個實數，而完備則要求它們真的含有每一個極限，這一點它們做不到。