阿基米德性質

阿基米德性質斷言實數軸上既沒有無窮大的數，也沒有無窮小的正數。無論一個實數多麼巨大，你都能透過把 1 累加足夠多次而越過它；無論一個正實數多麼微小，反覆累積它的副本終將超過任何給定目標。

確切地說：對任意實數 x，都存在自然數 n 使 n 大於 x。等價地，對任意正實數 epsilon，都存在自然數 n 使 1 除以 n 小於 epsilon。這兩種形式是同一斷言從兩端來看，一個講變大，一個講變小。

對實數而言這是定理，而非額外公理：它由最小上界性質推出。若自然數有上界，則它們有上確界 s，但這樣 s 減 1 就不再是上界，從而存在大於 s 減 1 的自然數，進而存在大於 s 的自然數，矛盾。

在某些奇異的有序體中此性質不成立，例如非標準分析中含有真正無窮小量的體。在那裡，一個元素可以為正，卻比每個 1 除以 n 都小。實數刻意排除了這類元素，這正是普通微積分無需真正的無窮小量的原因。