無窮小（歷史的）

無窮小曾被想像為一個大於零卻小於每個普通正數的數——一個小到在計算末尾可以丟棄、卻又在計算中途非零到足以被用作除數的量。它好用、直觀，而若按字面理解，則是自相矛盾的。

在牛頓與萊布尼茨的微積分裡，導數是通過構造無窮小增量之比 dy/dx、再「略去」無窮小餘項而算得的。這種方法在實踐中出奇地有效，但其基礎卻遭到攻擊（貝克萊譏諷其為「逝去之量的幽靈」），因為沒有任何實數既為正又小於每個正數——R 的阿基米德性質禁止這種數存在。

十九世紀的解決之道用嚴格的極限取代了無窮小：人們不再談一個實際無窮小的量，而是研究當某個量變得任意小時會發生什麼，並以 epsilon–delta 加以量化。需誠實地補一腳註：無窮小後來在羅賓遜的非標準分析（1960 年代）中藉助一個更大的數系被嚴格地恢復了，但那是另一套可選的框架——標準實分析完全不用它們。