差商

在談論瞬時變化率之前，你只能測量平均變化率。一趟公路旅行中，總路程除以總時間給出平均速度。差商正是如此：在一個有限步長上，輸出的變化除以輸入的變化。

對函數 f 與兩個不同的點 a 和 a + h，差商為 (f(a + h) - f(a)) / h。從幾何上看，它是連接圖像上兩點 (a, f(a)) 與 (a + h, f(a + h)) 的割線的斜率。只要函數值存在，它對每個非零的 h 都有定義；此時尚未涉及任何極限。

讓 h 趨於 0，導數便由差商誕生。微分的全部戲劇性都在於這一次取極限：差商是一個誠實可算的比值，而導數是它所趨近的那個值——此值可能存在，也可能不存在。將這兩個概念區分清楚，正是使定義嚴謹而非循環論證的關鍵。