切線

把一把直尺貼在一段彎路上的某一點，使它恰好擦著曲線，並在該處與曲線方向一致。那把直尺就是切線：在接觸點處比任何其他直線都更貼合曲線的唯一直線，它與曲線共享該點以及瞬時方向。

嚴謹地說，若 f 在 a 處可微，則圖像在 (a, f(a)) 處的切線為直線 y = f(a) + f'(a)(x - a)。其斜率為導數 f'(a)，故導數與切線攜帶相同的資訊。其定義性質是：這條直線是最佳的一階逼近：f(x) - [f(a) + f'(a)(x - a)] = o(x - a)，即當 x -> a 時誤差比距離 x - a 縮小得更快。

切勿把切線理解成「只與曲線相交於一點的直線」——這種直覺會誤導人。切線可以穿過曲線，而一條直線也可以只與曲線相交於一點卻不是切線（想想豎直線與拋物線相交）。誠實的定義是分析性的，透過導數與誤差的階來刻畫，而非透過直線與曲線相交的次數。