嚴謹的微分理論
導數
想像你開車時瞥一眼速度表。里程表告訴你走了多遠（一個關於時間的函數），而速度表告訴你此刻跑得多快。那個瞬時速度就是導數：一個量相對於另一個量在某一瞬間的變化率，而非在一段區間上取平均。
精確地說，函數 f 在點 a 處的導數是極限 f'(a) = lim_{h -> 0} (f(a + h) - f(a)) / h，前提是此極限存在且為有限實數。式中的商是差商，導數即為當自變數增量 h 趨於零時它所趨近的值。等價地，令 x = a + h，則 f'(a) = lim_{x -> a} (f(x) - f(a)) / (x - a)。
需要誠實指出的微妙之處在於：這是一個極限，而極限可能不存在。在像 f(x) = |x| 在 0 處這樣的尖角處，左、右差商趨於不同的值（-1 與 +1），因此不存在單一的導數。所以導數的存在是一個真正的假設，不能想當然；一個函數可以處處連續卻在某一點甚至在每一點都沒有導數。
對 f(x) = x^2 與 a = 3，差商為 ((3 + h)^2 - 9) / h = (6h + h^2) / h = 6 + h（h 不為 0），當 h -> 0 時趨於 6。故 f'(3) = 6。
在取極限之前，代數運算約去了分母中的 h——這正是 0/0 形式不構成問題的原因。
記號多種多樣：f'(a)、df/dx 在 a 處的值、以及 Df(a) 都表示同一個數。萊布尼茲記號 df/dx 富有啟發性，但並非真的是分數；它是表示那個極限的單一符號。
又稱
另見