可微蘊含連續

如果一個圖像光滑到在某點有確定的斜率，那它在該處當然不可能有洞或跳躍——你無法把直尺斜靠在一道縫隙上。擁有導數是一個很強的條件，它免費奉送給你的第一樣東西，就是該點處的連續性。

定理：若 f 在 a 處可微，則 f 在 a 處連續。證明是極限乘積的一行話。對靠近 a 但不等於 a 的 x，寫 f(x) - f(a) = ((f(x) - f(a)) / (x - a)) * (x - a)。當 x -> a 時，第一個因子趨於 f'(a)（由可微性知為有限數），第二個因子趨於 0，故乘積趨於 0。於是 f(x) -> f(a)，這正是 a 處的連續性。

這個蘊含只朝一個方向成立；它的逆命題為假。連續並不蘊含可微：f(x) = |x| 在 0 處連續卻在該處無導數，更糟的例子（處處連續、處處不可微）也存在。所以可微是連續的充分條件，但遠非必要條件，二者絕不可混為一談。