處處不可微函數

微積分的直覺暗示連續曲線「大體上是光滑的」——它或許有幾個尖角，但總該幾乎處處有切線。1872 年，魏爾斯特拉斯用一個處處連續、卻在任何一點都沒有切線的函數打碎了這幅圖景。它的圖像皺褶之甚，任你如何放大，都永不變直。

經典構造是一個級數：W(x) = sum_{n>=0} a^n cos(b^n pi x)，其中 0 < a < 1，b 為奇整數，且乘積 a b > 1 + 3 pi / 2。由於 |a^n cos(b^n pi x)| <= a^n 且 sum a^n 收斂，魏爾斯特拉斯 M 判別法使該級數一致收斂，故由一致極限定理，W 處處連續。但高頻項 b^n pi x 振盪得如此猛烈，以致差商在每一個 x 處都不收斂，於是 W 處處不可微。

這是本領域的招牌警世故事：連續不蘊含可微，哪怕在一點也不蘊含，儘管可微確實蘊含連續。它還表明一致收斂保持連續性，卻不保持可微性——每個部分和都是光滑的三角多項式，而其一致極限竟處處沒有導數。這類函數並非罕見的奇珍：在精確的拓撲意義下，「絕大多數」連續函數都是處處不可微的。