病態例子

病態例子是數學上等價於碰撞測試假人的東西：一個故意造得古怪的對象，用來撞向你的直覺，揭示它在哪裡被撞癟。它的行為如此違背天真的預期，以致逼你說清自己暗中究竟假設了什麼。

形式地說，病態例子是一種構造，它符合某定義的字面，卻公然違背通常伴隨該定義的心理圖景。著名的標本包括處處連續卻處處不可微的函數（魏爾斯特拉斯）、填滿一個正方形的曲線（皮亞諾），以及在每個有理點不連續、在每個無理點連續的函數。每一個都完全合法；過於樂觀的只是我們的直覺。

病態並非為新奇而新奇——它們做著不可或缺的工作。它們通過表明一條定理究竟不能捨去哪些條件來磨利假設，並揭露隨意推理中暗藏的假定。需誠實地看待：這一代人稱為病態的，下一代人往往稱為典型。處處連續卻處處不可微的函數在 1872 年顯得駭人；而在現代概率論中，一條「隨機」的連續路徑以概率一處處不可微。